一個小小工程師的心情抒發天地

邊緣檢測

圖像邊緣主要是描述image的一個結構形狀，包含圖像的大量信息，也就是Img(image)識別中最重要的特徵之一，Img邊緣是img特性不連續的反應，它標識了一個區域的開始以及結束。

Laplace介紹

在數學以及物理中，拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英語：Laplace operator, Laplacian）是由歐幾里得空間中的一個函數的梯度的散度給出的微分算子，通常寫成 {\displaystyle \Delta }、{\displaystyle \nabla ^{2}} 或 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla }。

這名字是為了紀念法國數學家皮耶-西蒙·拉普拉斯（1749–1827）而命名的。他在研究天體力學在數學中首次應用算子，當它被施加到一個給定的重力位（Gravitational potential）的時候，其中所述算子給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯算子運算為零∆f=0的函數稱為調和函數，現在稱為拉普拉斯方程式，和代表了在自由空間中的可能的重力場。

拉普拉斯算子有許多用途，此外也是橢圓算子中的一個重要例子。

拉普拉斯算子出現描述許多物理現象的微分方程式里。例如，常用於波方程式的數學模型、熱傳導方程式、流體力學以及亥姆霍茲方程式。在靜電學中，拉普拉斯方程式和泊松方程式的應用隨處可見。在量子力學中，其代表薛丁格方程式中的動能項。

拉普拉斯算子是最簡單的橢圓算子，並且拉普拉斯算子是霍奇理論的核心，並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和計算機視覺中，拉普拉斯算子已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。 (From : wiki)

坐標表示式

二維空間

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}

其中x與y代表x-y平面上的笛卡兒坐標

另外極坐標的表示法為：

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}}

三維空間

笛卡兒坐標系下的表示法

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}

圓柱坐標系下的表示法

{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}

球坐標系下的表示法

{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}

N維空間

在參數方程式為{\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}（其中{\displaystyle r\in [0,+\infty )}以及{\displaystyle \theta \in S^{N-1}}）的{\displaystyle N}維球座標系中，拉普拉斯算子為：

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}

其中{\displaystyle \Delta _{S^{N-1}}}是{\displaystyle N-1}維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。我們也可以把{\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}}的項寫成{\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}}。

恆等式

• 如果f和g是兩個函數，則它們的乘積的拉普拉斯算子為：

{\displaystyle \Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)}。

f是徑向函數{\displaystyle f(r)}且g是球諧函數{\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )}，是一個特殊情況。這個情況在許多物理模型中有所出現。{\displaystyle f(r)}的梯度是一個徑向向量，而角函數的梯度與徑向向量相切，因此：

{\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot (\nabla Y_{lm}(\theta ,\phi ))=0}。

球諧函數還是球座標系中的拉普拉斯算子的角部分的特徵函數：

{\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}。

因此：

{\displaystyle \Delta (f(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ))=\left({\frac {d^{2}f(r)}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {df(r)}{dr}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}。

 private void button9_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            var op = new OpenFileDialog();
            if (op.ShowDialog() == DialogResult.OK)
            {
                Mat scr = new Mat(op.FileName);
                Mat dst = new Mat();
                CvInvoke.Laplacian(scr, dst, Emgu.CV.CvEnum.DepthType.Default, 1);

                imageBox1.Image = scr;
                imageBox2.Image = dst;

            }
        }